116问答网 > 设A是椭圆x^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1(a>b>0)长轴上的一个顶点，若椭圆上存在点P,使AP⊥OP

设A是椭圆x^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1(a>b>0)长轴上的一个顶点，若椭圆上存在点P,使AP⊥OP

求椭圆圆心率e的取值范围。

2025-06-27 02:12:57

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回答1：

解：由对称性，不妨设点A(a,0),P(acost,bsint).∵AP⊥OP,即向量AP⊥向量OP.∴向量AP·向量OP=0。∴(acost-a,bsint)·(acost,bsinb)=0.===>(acost)²-a²cost+(bsint)²=0.====>c²cos²t-a²cost+a²-c²=0.===>e²cos²t-cost+1-e²=0.===>(cost-1)[e²cost-(1-e²)]=0.===>cost=(1-e²)/e²＜1.===>2e²＞1.===>e＞√2/2.∴√2/2＜e＜1.