设f(lnx)=ln(1+x)⼀x则∫f(x)dx=?

2025-06-26 10:37:26

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回答1：

具体回答如下：

f（lnx）=(ln(1+x))/x

lnx=t

x=e^t

f(lnx)=f(t)=ln(1+e^t)/e^t

∫f(x)dx

=∫ln(1+e^x)/e^xdx

=∫ln(1+e^x)de^(-x)

=e^(-x)ln(1+e^x)-∫e^(-x)*1/(1+e^x)*e^xdx

=e^(-x)ln(1+e^x)-∫1/(1+e^x)dx

=e^(-x)ln(1+e^x)-∫e^x/(e^x+e^2x)dx

=e^(-x)ln(1+e^x)-∫1/(e^x+e^2x)de^x

=e^(-x)ln(1+e^x)-arctan[(e^x+1/2)/(√3/2)]+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

回答2：

简单计算一下，答案如图所示

回答3：