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x1,x2,x3……xn∈r＋,x1+x2+x3+……+xn=1，证明∑（x1^2⼀x1+1）≥1⼀

x1,x2,x3……xn∈r＋,x1+x2+x3+……+xn=1，证明∑（x1^2/x1+1）≥1/1＋n

2025-06-24 16:38:44

推荐回答（1个）

回答1：

由题目意思x1²/(x1+1)+x2²/(x2+1)+...+xn²/(xn+1)将其乘以(x1+1+x2+1+x3+1+...+xn+1)=1+n
故原式化为｛[x1²/(x1+1)+x2²/(x2+1)+...+xn²/(xn+1)]×(x1+1+x2+1+x3+1+...+xn+1)}/(1+n)
对此式子的分子采用柯西不等式：
｛[x1²/(x1+1)+x2²/(x2+1)+...+xn²/(xn+1)]×(x1+1+x2+1+x3+1+...+xn+1)}/(1+n)≥(x1+x2+x3+...+xn)²/（n+1）=1/(n+1),证毕。

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