（1）∵f(x)＝
+lnx∴f'（x）=1?x ax
（a＞0）…1ax?1 ax2
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数∴f'（x）=
≥0对x∈[1，+∞）恒成立ax?1 ax2
ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥
对x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1 （4分）1 x
（2）∵a≠0f′(x)＝
＝a(x?
)1 a ax2
，x＞0，x?
1 a x2
当a＜0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴f（x）的增区间为（0，+∞）…5
当a＞0时，f′(x)＞0?x＞
，f′(x)＜0?x＜1 a
1 a
∴f（x）的增区间为(
，+∞)，减区间为（0，1 a
）…61 a
（3）当a=1时，f（x）=
+lnx，f'（x）=1?x x
，故f（x）在[1，+∞）上为增函数．x?1 x2
当n＞1时，令x=
，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0…8n n?1
∴f（
）=n n?1
+ln1?
n n?1
n n?1
=-n n?1
+ln1 n
＞0，即lnn n?1
＞n n?1
1 n
∴lnn＞ln
+ln2 1
+…+ln3 2
＞n n?1
+1 2
+1 3
+…+1 4
1 n
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