如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ

(1)解：连接BD
∵菱形ABCD
∴∠A=∠ADB=∠BDC=∠DBQ=60°(对角线把菱形分为两个等边三角形)
∴AD=BD
∵∠ADP+∠BDP=60° ∠BDQ+∠BDP=60°
∴∠ADP=∠BDQ
再证明△ADP全等于△BDQ
｛∠A=∠DBQ，AD=BD，∠ADP=∠BDQ
∴PD=QD
又∵∠PDQ=60°
∴△DPQ为等边三角形（正三角形）

（2）
解：（根据等边三角形面积公式：若一边为a，那么高为2分根号3a）
由题意得：DP为x
∴S△DPQ=4分之根号3 · x^2
∵P在AB上，若到D距离最短，肯定垂直于AB （PD⊥AB）
∴三线合一（等边三角形ABD中）
∴AP=二分之一AB=2
∵PD⊥AB
∴AP^2+PD^2=AD^2
PD=2根号3
∴S△DPQ 最小为二分之根号432.

解：（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°

∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，△ABD为等边三角形

∴∠DBC =60°，AD=BD

∴∠DBC =∠A

∵AP=BQ

∴△BDQ≌△ADP

（2）过点Q作QE⊥AB交AB延长线与点E（如图）

∵四边形ABCD为菱形

∴AB=AD=3

∵AP=2

∴BP=1，BQ=AP=2

∠CBE=180°－120°=60°

∴BE=1，QE=根号3

∴PE=2，PQ=根号下（2�0�5+（根号3）�0�5=根号7

∴cos∠BPQ=PE/PQ=2/根号7=2·根号7/7