116问答网 > z1 z2是不为零的复数，在复平面上分别对应点P和Q，且4Z1^2-2Z1Z2+Z2^2=0，证明△OPQ为直角三角形

z1 z2是不为零的复数，在复平面上分别对应点P和Q，且4Z1^2-2Z1Z2+Z2^2=0，证明△OPQ为直角三角形

还要求两锐角度数这个是什么意思，详解！！

2025-06-29 00:36:08

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回答1：

4Z1^2-2Z1Z2+Z2^2=0

可得(Z1 - Z2)^2 = - 3Z1^2
所以|Z1 - Z2| = sqrt(3)|Z1|

也可得(Z2/Z1)^2 - 2Z2/Z1 + 4 = 0
解出Z2/Z1 = 1±sqrt(3)i
所以|Z2/Z1| = 2，即|Z2| = 2|Z1|

综上，有|Z1|^2 + |Z1 - Z2|^2 = |Z2|^2，也就是OP^2 + PQ^2 = OQ^2
所以△OPQ是直角三角形，P是直角

复数相除，就是模相除，辐角相减

Z1/Z2的模|Z1/Z2|是OP与OQ的长度比
Z1/Z2的辐角是OP与x轴成的角减去OQ与x轴成的角，即角POQ
前面算出Z2/Z1 = 1±sqrt(3)i，用模与辐角的形式表达就是你贴的图
所以OP与OQ夹角为60度