根据算符▽的微分形与矢量形，推导下列公式：▽（A·B）=B×（▽×A）+（B·▽）A+A×（▽×B）+（A·▽）B，A×（▽×A）=▽A2/2-（A·▽）A。
设u是空间坐标x，y，z的函数，证明：▽f(u)=df/du▽u，▽·A(u)= ▽u·dA/du，▽×A(u)= ▽u×dA/du。
设r=√[(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2]为源点x’到场点x的距离，r的方向规定为从源点指向场点。应用高斯定理证明∫vdV×f=∮sdS×f，应用斯托克斯定理证明∫sdS×▽ψ=∮Ldlψ。
含义
该定理经常用于M是嵌入到某个定义了ω的更大的流形中的子流形的情形。定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。
向量场积分的斯托克斯公式：
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