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已知|a|=4，|b|=3，（2 a-3b）?（2a+b）=61．（1）求a与b的夹角：（2）求2a+b和a-4b夹角的余弦
已知|a|=4，|b|=3，（2 a-3b）?（2a+b）=61．（1）求a与b的夹角：（2）求2a+b和a-4b夹角的余弦
2025-06-24 17:29:56
推荐回答（1个）
回答1：
（1）由已知得，4
a
2
-3
b
2
-4
a
?
b
=61，即4×16-3×9-4×4×3cosθ=61．
解得cosθ=?
1
2
，θ∈[0，π]．
所以，
a
与
b
的夹角是
2π
3
；
（2）|2
a
+
b
|
2
=（2
a
+
b
）
2
=4
a
2
+
b
2
+4
a
?
b
=4×16+9+4×4×3×(?
1
2
)
=49．
所以，|2
a
+
b
|=7．
同理，可求得|
a
-4
b
|=4
13
．
所以，2
a
+
b
和
a
-4
b
夹角的余弦为
cosφ=
(2
a
+
b
)?(
a
?4
b
)
|
2a
+
b
||
a
?4
b
|
=
2
a
2?4
b
2?7
a
?
b
7×4
13
=
19
13
182
．
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