（1）∵f（x）=xsinx．
∴由f（x）=xsinx=1得sinx=，
在坐标系中分别作出函数f（x）=sinx，和g（x）=的图象如图：
∵y=在（0，π）上得到递减，y=sinx在（0，]上递增，
在（，π）上单调递减，且当x=时，f（）=1，g（）=＜1，
∴f（x）与g（x）在（0，π）上有两个交点，即方程f（x）=1在（0，π）内实根的个数为2个．
（2）f′（x）=sinx+xcosx，
由f′（x）=0得sinx=-xcosx，
即x=-tanx，
设x0＞0是f′（x）=0的任意正实根，则存在一个非负整数k，
使x0∈（+kπ，π+kπ），即x0在第二或第四象限内，
则满足f′（x）=0的正根x0都是f（x）的极值点．
设函数f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1＜a2＜…＜an…，
∴+(n?1)π＜an＜π+(n?1)π，
+nπ＜an+1＜π+nπ，
则＜an+1?an＜，
∵an+1-an=-（tanan+1-tanan）=-（1+tanan+1?tanan）tan（an+1-an），
∵tanan+1-tanan＞0，
∴tan（an+1-an）＜0，
∴an+1-an必在第二象限，即an+1-an＜π，
综上＜an+1?an＜π(n∈N*)．
