已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0，函数f（x）的导函数是f′（x）．（I）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，

（I）若a＜0则对一切x＞0，f（x）=e^ax-x＜1这与题设矛盾；
又a≠0，故a＞0，
f′（x）=ae^ax-1，f′（x）=0?x=

1

a

ln

1

a

，
当x＜

1

a

ln

1

a

，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞

1

a

ln

1

a

，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
故当x=

1

a

ln

1

a

时，f（x）_min=f（

1

a

ln

1

a

）=

1

a

?

1

a

ln

1

a

，
对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当

1

a

?

1

a

ln

1

a

≥1①，
令g（t）=t-tlnt，g′（t）=-lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，当t＞1时，g′（t）＜0，
∴当t=1时，g（t）_max=g（1）=1，
当且仅当

1

a

=1?a=1时，（1）式成立，
∴a的取值集合是{1}．
（Ⅱ）g（x）=|

x?a

x+2a

|，
当x∈（0，a），g（x）=

?x+a

x+2a

，g′（x）=

?3a

(x+2a)2

＜0，g（x）递减，
当x∈（a，+∞），g（x）=

x?a

x+2a

，g′（x）=

3a

(x+2a)2

＞0，g（x）递增，
若a＞4，g（x）在（0，4）上递减，故不满足要求；
当a＜4，g（x）在（0，a）上递减，在（a，4）上递增，
若存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），使曲线y=g（x）在（x₁，g（x₁），（x₂，g（x₂））两点处的切线互相垂直，
则x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），
且g′（x₁）?g（′（x₂）=-1?

?3a

(x1+2a)2

?

3a

(x2+2a)2

=-1?x1+2a＝

3a

x2+2a

①，
由x₁∈（0，a）?x₁+2a∈（2a，3a），x₂∈（a，4）?