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已知正项数列{an}的前n项和Sn=1⼀4(an+1)^2,求数列{an}的通项公式并求Sn

2025-06-26 08:04:14

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回答1：

Sn=1/4(an+1)^2
S1=a1=1/4(a1+1)^2解得：a1=1.
S(n-1)=1/4(a(n-1)+1)^2两式相减并整理得：
(an-a(n-1)-2)(an+a(n-1))=0
所以：an=a(n-1)+2或者an=-a(n-1)由于是正项数列
所以：an=1+2(n-1)=2n-1.Sn=n^2.

回答2：

√Sn/√S(n-1)=(an+1)/[a(n-1)+1]
设Tn=an+1
a1=1
a2=3
则√Sn/√S(n-1)=Tn/T(n-1)=T2/T1=2
Sn/S(n-1)=4
Sn是以4为公比
首项为S1=3的等比数列
Sn=3*4^(n-1)
an=√(3*4^n)-1