非齐次线性方程组由解向量求通解

2025-06-29 02:56:42

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回答1：

设齐次的通解为∑ckyk
非齐次特解为y
于是我们有
x1=y+∑(1到k)ck1yk
x2=y+∑（1到k)ck2yk
...
xt=y+∑(1到k)cktyk
其中ckt为任意常数
于是我们可以令c'k=c1ck1+c2ck2+....+ctckt
c1x1+c2x2+...+ctxt
=∑c‘kyk+(c1+c2+....+ct)y
=y+∑c'kyk
所以c1x1+c2x2+...+ctxt也是原方程组的解。

回答2：

因为
非齐次线性方程组Ax＝b
有3个线性无关的解向量
所以
AX=0
的基础解系含
3-1
=
2
个向量
(1/2)(b+c)
是非齐次线性方程组的解
b-a,c-a
是
AX=0
的解
--
这是解的性质,
直接代入方程验证即可
又由
a,b,c
线性无关得
b-a,
c-a
线性无关
所以
b-a,c-a
是
AX=0
的基础解系.
故通解为
(1/2)(b+c)
k1(b-a)+k2(c-a).