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已知抛物线C的顶点为坐标原点，椭圆C′的对称轴是坐标轴，抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点（Ⅰ

2025-06-25 04:17:11

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回答1：

（I）设抛物线C的方程为：y² =2px，
抛物线C经过点M（1，2）则2² =2p×1
∴抛物线C的方程为：y² =4x其焦点为F₂ （1，0）
故可设椭圆C′的焦点为F₁ （1，0）和F₂ （1，0），
2a=|MF₁ |+|MF₃ |=2

+2
∴b² =（

+1）² -1² =2+2

∴椭圆C′的方程为：

x 2

3+2

y 2

2+2

=1（3分）
（II）设A（2pt² ，2pt）则AP的中点Q（pt² +

，pt），
以AP为直径的圆的半径为r
r² =（pt² -

）² +（pt）² ，
设Q（pt² +

，pt）到直线l′：x=2的距离为d
则d=|pt² +

-2|=|pt² -

|
设直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦为MN，则：
(

|MN|

) 2 =r² -d² =（pt² -

）² +（pt）² -（pt² -

）² =（p² -2p）t² +2
由于|MN|为定值，所以p² -2p=0所以p=2
∴抛物线C的方程为：y² =4x（8分）
（III）设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ）
利用导数法或判别式法可求得AE，BE的方程分别为
AE：y1y=2（x₁ +x），BE：y₂ y=2（x₂ +x）若E（x₀ ，y₀ ）则
y₁ y₀ =2（x₁ +x₀ ），y₂ y₀ =2（x₂ +x₀ ）故AB：y₀ y=2（x₀ +x）
又因为AB过点P（3，0），所以y₀ ×0=2（x₀ +3）所以x₀ =-3
即E的轨迹为D的方程为x=-3，交AB：y₀ y=2（x₀ +x）于点F（-3，-

y 0

）
|EF|=|y₀ -（-

y 0

）|=|y₀ +

y 0

|≥2

y 0 ?

y 0

；
当且仅当y₀ =

y 0

即y₀ =± 2

时取等号；
所以|EF|的最小值为4

．（13分）