116问答网 > 证明函数f（x）=sin（x^2）在开区间（-∞，+∞）上连续且有界，但非一致连续，用∈-δ语言来？

证明函数f（x）=sin（x^2）在开区间（-∞，+∞）上连续且有界，但非一致连续，用∈-δ语言来？

叙述f（x）在区间I上不一致连续，详细过程

2025-06-26 02:31:51

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回答1：

解析：
(1)
f(x)=sin(x²)有y=sinu和u=x²复合而成
∵ y=sinu和u=x²在(-∞，+∞)上连续
∴ f(x)=sin(x²)在(-∞，+∞)上连续
(2)
由三角函数性质可知
对于x∈R，恒有|sinx²|≤1
所以，f(x)=sin(x²)在(-∞，+∞)上有界
(3)
f'(x)
=2xcos(x²)
此函数在(-∞，+∞)无界
所以，f(x)=sin(x²)在(-∞，+∞)上非“一致连续”