这题只需要知道留数定理就可以直接推得答案是2πi了
由留数的性质可知:解析函数沿某一条不过孤立奇点的简单闭曲线积分等于其在曲线内部全部孤立奇点的留数之总和乘以2πi.
题中的函数为1/(z-1),孤立奇点为1,曲线C并不过1,故可以用留数的性质.
关于留数的证明可以参考这里
http://wenku.baidu.com/link?url=T6RR3sd9qM1Ukh9C3PgBaiqGgh7UASOE43DQcB3C4SYy6gDaSnFqj2g4sn5VwdHTpn9iV2tDsZrc43r61-BnulS3kRZKuFlPvV4twsOrSYy
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