116问答网 > 数学课上，老师提出：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点

数学课上，老师提出：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点

2025-06-23 23:14:26

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回答1：

（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），
由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，
故点M的坐标为（2，2），
所以S_△CMD =1，S_梯形ABMC =

所以S_△CMD ：S_梯形ABMC =2：3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则

k+b=1

2k+b=4

，
解得

k=3

b=-2

所以直线CD的函数解析式为y=3x-2．
由上述可得，点H的坐标为（0，-2），y_H =-2
因为x_C ?x_D =2，
所以x_C ?x_D =-y_H ，
即结论②成立；

（2）（1）的结论仍然成立．
理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），
由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，
故点M的坐标为（2t，2t2），
所以S_△CMD =t3，S_梯形ABMC =

t3．
所以S_△CMD ：S_梯形ABMC =2：3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则

tk+b= t 2

2tk+b=4 t 2

，
解得

k=3t

b=-2 t 2

所以直线CD的函数解析式为y=3tx-2t² ；
由上述可得，点H的坐标为（0，-2t2），y_H =-2t²
因为x_C ?x_D =2t² ，
所以x_C ?x_D =-y_H ，
即结论②成立；

（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax² （a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at² ），点D坐标为（2t，4at² ），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则：

tk+b=a t 2

2tk+b=4a t 2

，
解得

k=3at

b=-2a t 2

所以直线CD的函数解析式为y=3atx-2at² ，则点H的坐标为（0，-2at² ），y_H =-2at² ．
因为x_C ?x_D =2t² ，
所以x_C ?x_D =-

y_H ．